2017年华北理工大学理学院823高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
3．
设是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基到基
【答案】（A ）
4． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 5． 设
所以向量组
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
线性无关. 是
的基础解系，
为任意常数，
线性无关.
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 设A ，B ，U ，V 均为n ×n 矩阵，且A=BU，B=AV ，证明：存在可逆矩阵T ，使得A=BT.
【答案】将A ，B 按列分块，
记
可以由
线性表示，同理
.
因为
可以由
所以
线性表示，故A ，B
的列向量组等价，于是存在可逆矩阵T ，使得A=BT.
7． 证明：奇数维欧氏空间的第一类正交变换有特征值1.
【答案】设T 是n （n 为奇数）维欧氏空间V 的第一类正交变换，即T 在某一标准正交基下的矩阵A 是正交矩阵且
另一方面，因为A 是正交矩阵且，于是由（1）（2）得证法设
的n 个根为但于是由上题知
故
则且其余
个实根为
从而由（3）得
但n 为奇数，从而
是奇数，故
中至少有一个1，即A 或T 有特征
值1.
8． 计算下面的行列式：
为实系数多项式，虚根成对出现，不妨设前2k 个是虚根，它们是与
故又有
故1是A 即T 的特征值.
证法因为n 为奇数，故
（1）