2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
是（ ）二次型.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 3． 设
为空间的两组基，且
又
则（ ）•
【答案】（C ）
【解析】令由②有
将①代入④得
即
4． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
则线性方程组（
【答案】D 【解析】
5． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
）•
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
二、分析计算题
6． 设A ，B 均为n 阶方阵，A+B=AB，证明：r （A ）=r（B ）.
【答案】由A+B=AB，得
故
7． 设
类似可得，计算n 阶行列式
【答案】先将D 加边成以下n+1阶行列式
故r （A ）=r（B ）.
再将此行列式的第一行乘-1加至其余行；然后再将其加边成以下n+2阶行列式
再将此n+2阶行列式的第一列乘-1加到
第
列各乘
都加至第一列，再将第
到第二列，得
列依次分别乘
列；然后将所得行列
式的第
都加