2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设线性方程组
的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩 2． 设
其中A 可逆，则A.
B.
C.
D. 【答案】C 【解析】因为 3． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令
由②有
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的解，则（ ）。
则
所以
的解空间分别为
=（ ）.
为空间的两组基，且
将①代入④得
即
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
到
基
分别为A ，B 的伴随矩阵，
5．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
【答案】（A ）
二、分析计算题
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6．
设是欧氏空间V 的线性变换
，是V 的一个变换，
且都
有
证明：（1）是V 的线性变换； （2）的值域【答案】（1）
等于的核
的正交补 由题设可得
由的任意性知
同理，所以
由式（1）、式（2）得t 是V 的线性变换. （2）可等价地证明
有
所以
则有
所以
从而
结合①、②可得
7． 设性无关，则交
其中
的维数等于齐次线性方程组
的解空间的维数. 【答案】由假设知，故由维数公式得
由于（5）是
元线性方程组，又
=方程组（5）系数矩阵的秩，
故由（6）知，
维数=（5）的解空间维数.
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有
均为n 元列向量，证明：若此二向量组都线
维数为S ，维数为t. 又因为