2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
故
但当a=l时，
则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
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【答案】B 【解析】
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，
即
3． 设
又
为空间的两组基，且
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
由②有
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
是
的一个特解，所以选C.
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
.
则也不是线性变换，
比如给
二、分析计算题
6． 证明：以下两个变换都是的线性变换：
再求T+S, TS与ST.
【答案】T , S都是的变换显然. 再由于
故T 是又
7． 已知4阶方阵关
，
如果
【答案】解法1
求线性方程组
均为4维列向量，其中
的通解.
将由
代入上式，整理后得
线性无关，知
解此方程组得
k 为任意常数. 解法2 由包含一个向量. 由以其通解为
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的一个线性变换.
的一个线性变换.
同理可验证S 也是
线性无
线性无关及知，A 的秩为3，因此AX=0的基础解系中只
为齐次线性方程AX=0的一个解，所
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