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一、选择题

1． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

所以f 为正定的.

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

所以A 的特征值为3，3，0；而

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

3． 设线性方程组的解都是线性方程组的解，则（ ）。

【答案】（C ） 【解析】设即证秩

4．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到基

的解空间分别为

则

所以

则A 与B （ ）.

【答案】（A ）

5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

则线性方程组（ ）•

二、分析计算题

6． 设A ，B 为实对称方阵. 证明：存在正交方阵U 使

【答案】设有正交方阵U 使

由此易知：

从而得AB=BA.

反之，设AB=BA.由于A 为实对称，故存在正交方阵U. 使

其中是单位方阵. 由AB=BA可知i

与

可换. 于是由（17）可设

显然每个实对称，故存在正交方阵

使块

的可裂矩阵，则易知

为对角矩阵

令

是主对角线为

与

同为对角矩阵

是正交方阵且由（17）与（18）得

即与同为对角矩阵.

7． 求一个3阶实对称矩阵A , 使其特征值

为

正交，得方程组

其中

为的转置.

【答案】设A 的属于的特征向量为

并且对应特征值1有特征向

量

由实对称矩阵A 的不同特征值的特征向量