2017年中国矿业大学(徐州)理学院828高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为
2． 设线性方程组
=（ ）.
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设
即证秩
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
故选B.
4． 设A 为4×3矩阵，常数，则
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到 5． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
是
的一个特解，所以选C.
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
二、分析计算题
6． 设是n 行维欧几里得空间V 的对称变换，则的值域
【答案】由线性变换的秩与零度的和为n , 在由那么于是
是的核中分别取正交基
的正交补.
则存在
注意到
故
使
则
于是
是的核
的正交补.
7． 设式
且是关于z 的次数的多项式. 为任意数，证明：行列
并举例说明条件“次数【答案】（1）当（2）当
是不可缺少的.
中有两个数相同时，①式显然成立（•. •有两行相同）.
互不相同时，令
由于（i ）若均有
（3）条件“次数再取
的次数
则
因此F （x ）只有两种可能. 此时F （x ）最多只有，
即有n-l 个根，矛盾，即
再将x=a，代入，即证①式.
是不可缺少的，比如设n=3, 且
这时①式左端为
即①式不成立.
8． 指出下列线性空间的维数，若为有限维时各给出一基：
是由0及数域K 上二元n 次齐次多项式作成的线性空间；
是复数集对数的普通加法与乘法作成的实数域R 和有理数域Q 上的线性空间. 【答案】故为
的一基，
元用x , y表示，则显然的维数是
（虚单位）为其一基，又
作成有理数域Q
中数1,
为圆周率，是超越数）中任意有限个均线性无关.
都是二元n 次齐次多项
式，且根据多元多项式相等可知线性无关. 又显然K 上每个二元n 次齐次多项式都可由其线性表示，
是实数域R 上的2维空间，因为显然1，
上无限维空间，因为例如，
9． 设V 是复数域上以
个不同根但由②式，将
代入
为基底的线性空间，为V 上的线性变换
记
【答案】因为
为的象空间，
为的核，试求