2017年中国矿业大学(北京)理学院802高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
为方程
的三个根，使
的所有实数n ，并对每个这样的口，求出相应的【答案】令因为
代入原方程得
为原方程的三个根，所以
为②的三个根. 于是
在代数中有公式
在⑤中令
并注意④式，那么①式变为
（1）当所 以
（2）
当
由此
可得（3）
当
时，
则
2． 设S 是酉空间V 的一个非空集合，记
证明：
是子空间，且
并举例说明
有
所以
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由于为原方程的根，将由此可得
代入方程，得l —6+a+a=0.解之
，
代入原方程，可解
得
代入方程，可求
得
这时
有
所
以
不一定成立. 所以
【答案】对给定的集合S ，显然V 的零元素属于
，对任一（复数域）
即由又可见因此
的任意性知
由题设知
不一定成立，如在酉空
间S 不是V 的子空间，但
是V 的子空间，所以
中，
取
是V 的子空间.
3． 设
是四维线性空间V 的一组基，线性变换
在这组基下的矩阵为
（1）求在基
下的矩阵； （2）求
的特征值与特征向量；
成对角形.
（3）求一可逆矩阵T ，使【答案】⑴
在
下的矩阵为
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（2）
特征值为
则
满足方程组
属于特征值0的特征向量设为
（1, 0, 0, 0）及（0, 1, 0, 0）是它的一组基础解系. 属于特征值0的全部特征向量为
取不全为零的任意数值.
属于特征值1的特征向量设为
则
满足方程组
（-7, 5, 3, 5）是基础解系. 属于特征值1的全部特征向量是
取任意数值.
属于特征值的特征向量设为
则
满足方程组：
（-8, 6, 1，2）是它的基础解系，属于的全部特征向量是
取任意数值.
（3）取
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