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一、分析计算题

1． 设

求

及

（k 为正整数）.

则

计算可得

相应的线性无关特征向量为

令

则

所以

其次，

则

从而由①，②，③式可得

且

是V 的s 个真子空间，证明，

使

是V 的真子空间，由上例，存在同样有

，

且

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【答案】令

所以

2． 设V 是数域K 上n 维线性空间，

（1）存在I 【答案】（1）因（2

）令

使得

（2）存在V 中一组基

•显然

，

线性无关. 令

则存在

，去，可得线性无关向量组（构成V 的基）且有

3． m ，p ，q 适合什么条件时，有

（1）（2）

【答案】（1）因

为

的充要条件是

（2）

的充要条件是有

使

被

且线性无关，如此继续下

除所得的余式

为

即

所

以

比较次数及首项系数，常数项，可设

代入，展开，得

由此得

4． 设A 是n 阶方阵. 证明：

①是反对称的【

答

案

对任意n 维列向量X 都有】

①

设

令

. 因此，

反之，设对任意X 都有则有再取

则有

即对称矩阵，

即又有

5． 设

. 从而A=0.

是4维线性空间V 的一组基，已知线性变换T 在这组基下的矩阵为

（1）求T 在

下的矩阵B ;

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的充要条件是或

则A=0. 则

因

为

故

②若A 为对称方阵且对任意n 维列向量都有

并取

因此，A 是反对称矩阵.

又因为对任意n 维列向量X 都有

故由①知A 为反

②因为A 为对称矩阵，故

（2）求T 的核与值域； （3）若线性变换【答案】（1）设

有

到

问是否为可逆变换？为什么？ 的过渡矩阵Z , 由已知条件得

故T 在

下的矩阵为

（2）（i ）先求值域TV 因为

若令则由①知

故T 的值域

为值域TV 的一组基. （ii ）再求核

由②知

再作齐次线性方程组Ax=0, 得基础解系为令则

即为核

为一组基.

只有零解，从而B 可逆. 故

6． 设V 是数域K 上全体

为可逆变换.

阶方阵作成的集合，问：V 对以下运算是否作成线性空间？

是用K 乘A 的主对角线上所有元素（别的元

且

为

其中为A 的列向量， 的一个极大线性无关组，且秩

其中

（3）是V 的可逆线性变换. 事实上，设

①数与矩阵乘法如常，但矩阵加法规定为：②矩阵加法如常，但数与矩阵乘法规定为：素不动）.

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