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一、选择题

1． 设

其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

=（ ）.

使

因此A 与B 合同.

3． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

4． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

二、分析计算题

6． 设复数域上n 次多项式.

证明：

的所有根也在上半复平面.

则

现任取一复数

的

虚部系数

因此

且

故

7． 设

【答案】证法I 令

即

的根都在上半复平面.

证明：

则

且虚部系数

由假设f （x ）的所有根都在上半复平面，即每个

【答案】设f （x ）在复数域内的n 个根为

的所有根都在上半复平面.