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一、分析计算题

1． 设向量

（1）求向量组（2）求向量组（3）将向量组【答案】（1）将

的秩；

的一个极大线性无关组；

中其余向量表为极大线性无关组的线性组合.

按行排成5X4矩阵，并对其作初等行变换[非行交换]，有

故向量组（2）由上述得知

的秩为3.

为向量组

的极大线性无关组.

（3）由初等变换过程易知：

2． 设

（1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成（2）当A=E时，求C （A ）; （3）当

的一子空间记作C （A ）;

时，求C （A ）的维数和一组基. 【答案】（1）显然C （A ）非空，又是（2）（3）设

中任一矩阵都与E 交换，故

满足BA=AB, 即

则

i , j=l, 2, …，n. 故当

时有

即B 是对角阵. 反之，对角阵也属于C （A ）. 这就其维数为n.

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中加法封闭和数量乘法封闭的子集，故构成子空间.

证明了C （A ）是中全体对角阵所成的子空间.

C （A ）的一组基可取

3． 设K 为数域，式作成的集合. 证明

【答案】是又

若此，

是满射.

分别为K 上偶次项系数全为零和奇次项系数全为零的全体多项都是多项式空间

的子空间，且二者同构.

的一个映射.

即所有

因

i

均为偶数，从而

i+1

均为奇数，于

是

都作成子空间显然，又易知

同理易知是单射，从而是双射，又由于

因此，

4． 证明：A 与

【答案】设则存有n 阶可逆阵

相似，从而有相同的特征值. 但特征向量不一定相同.

且

的不变因子为

使

两边取转置得

从而

与

有相同的不变因子，

于是

这说明：A 与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值. 但特征向量不一定相同，比如设

当当

时，由时，由

得线性无关的特征向量为得线性无关特征向量为

则

则A 属于1

的全部特征向量为属于1的全部特征向量为

其中k 为P 中不为零的任意常数.

其中1为P 中不为零的任意常数，因此A 与具有不同的特征向量.

5． 如果A 、B 都是n 级正定矩阵，证明：A+B也是正定矩阵.

【答案】因为A 、B 都是n 级正定矩阵，所以，对任意n 维非零实向量X , 都有

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于是

又由A 、B 都是n 级实对称矩阵，知A+B也是实对称矩阵，所以A+B是正定矩阵.

6． 用正交变换，将二次曲面

化为标准形.

【答案】令①式左端的二次型为

其相应矩阵为A ，则

计算可得当当由于

时，得特征向量

时，得特征向量

已经正交，再单位化即得

所以A 的特征值为

作正交变换

则上面二次曲面①变为

7． 设A , B

,

它表示一个旋转椭球面.

当

（n=0，1，…）都是3阶方阵

时，求 【答案】由

①-②得

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