2018年北京建筑大学理学院604数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:【答案】因
即可.
设即所以故 2． 设
, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
3． 证明:若
【答案】因为于是当
时, 有时
,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 存在N , 当 因此 时, 有 上的唯一驻点. 而 不可能在D 内部取得极值, 的最大值和最小值只能在D 的边界上取得. . 对D 内任何点（x , y ）, 由于故 在有界闭区域D 内有二阶连续的偏导数, 有的最大值、最小值只能在区域的边界上取得. 在界闭区域D 上连续, 故由连续函数的最值性知 在D 上一定可取得 处 在D 的内部不能取得极值, 这里只需证明在D 内任何点 最大值和最小值, 下证 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 则对任一正整数k , 有 所以, 对于任给 所以 4． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切 证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有 【答案】任意 依题意有 专注考研专业课 13年，提供海量考研优质文档！ 其中 介于与x 之间. 又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故 从而 5． 证明: （1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】 （1）设 P 为 于是也有 为闭集 . 故同理可证（2）设设使得 即为开集, 则有' 且为闭集 . 也为闭集. 有由于 或从而有使得 因此, 存在点B 的邻域所以 为开集. c c 由定理得 与与 都为闭集； 都为开集； 为闭集 为开集. 的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列 中的无限多项, 不妨设 从而P 为F 1的聚点. 因而F 1和F 2至少有一个集合含有 不妨设 , 因此 为开集. 则存在点A 的某邻域U （A ）使得 也存在点B 的某邻域 其中 为开集, 则存在点B 的某邻 使得 （3）若F 为闭集, E 为开集 , F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知 为闭集 为开集. 6． 证明定理 （有限覆盖定理）: 设个开域用直线 为一有界闭域, 为一个开域族, 它覆盖了 D （即„ ）. , , ）. 则在中必存在有限 它们同样覆盖了 D （即 把矩形 【答案】设有界闭域 D 含在矩形它所含的D 的部分不能被 t 之中, 并假设D 不能被中有限个开域所覆盖, 分成四个相等的闭矩形, 那么至少有一个闭矩形 其中每一个闭矩形 中有限个开域所覆盖, 把这个矩形（若有几个, 则任选其一）再分为 四个相等的闭矩形, 按照这种分法 继续下去, 可得一闭矩形套 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 所含的D 的部分都不能为有D 的一点, 任取其中一点为 中有限个开域所覆盖, 于是, 每个闭矩形 则 且 满足对任意的自然数N 都有: 中都至少含 由闭矩形套定理可知:存在一点由于 所以 又因在由于 是有界闭域D 上的点, 所以中必有一开域包含 不妨设此开域为 使得 故n 充分大时, 恒有 可见, 矩形但是, 这与每个故 包含于邻域 中, 从而包含于开域中, 中有限个开域所覆盖矛盾, 中所含的D 的部分不能被 和一个邻域 按定理条件, . 则必存在点 中必有D 的有限开域覆盖. 二、解答题 7． 求函数 【答案】首先有 令 得稳定点 . 又 从而 因为 故 为负定矩阵, 所以f 在内点 处取得极大值1. 在 内的极值.