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一、计算题

1． 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形变量U

的概率密度

.

上的均匀分布, 则X 和

【答案】由题设条件知X 和Y 是正方形Y 的联合概率密度为

设当当示:

时,

时,

的分布函数为

.

相当于阴影部分面积所占的比例大小. 如图1所

, 则

.

上的均匀分布, 试求随机

图

1

当

时,

. 于是随机变量U 的概率密度为:

2． 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p 未知，每m 件产品包装为一盒. 为了检查产品的质量，任意抽取n 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布.

【答案】总体为该厂生产的每盒产品中的不合格品数；样本是任意抽取的n 盒中每盒产品的不合格品数；样本中每盒产品中的不合格品数为

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因所以样

本

3． 设

的分布为

是来自分布函数为的联合条件密度函数.

密度函数为

其中的一个样本

. 给定时，

是其次序统计量，试求在

【答案】次序统计量

联合密度函数为

而后

个次序统计量

的联合密度函数为

故所求的联合条件密度函数为

最后结果表明:所求条件密度函数只与无关. 从而，其分布也仅依赖于

这样一来，条件密度函数

完全可以写成

4． 设随机变量序列

试证:【答案】已知则

对任意的

由切比雪夫不等式得

即 5． 设

独立同分布，且都服从

分布，试求

的分布.

结论得证.

记

独立同分布，数学期望、方差均存在，且

令

的给定值

有关，而与

的取值

【答案】因为的特征函数为

所以由诸的相互独立性得的特征函数为

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这正是正态分布

6． 设

【答案】因为

的特征函数，所以由唯一性定理知

与

进一步求此分布的变异系

，对k=l，2, 3, 4, 求

数、偏度系数和峰度系数.

所以

此分布的变异系数、偏度系数和峰度系数分别为

由此可见:指数分布的变异系数、偏度系数与峰度系数均与参数无关. 它永远是正偏尖峰.

7． 一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设

此处

分别是服用原有止痛片和服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体的均值.

，

现分别在两总体中取一样本

为样本，

和

设两个样本独立. 试给出上述假设检验问题的检验统计量及拒绝域. 【答案】设X 为服用原有止痛片后至开始起作用的时间间隔，Y 为服用新止痛片后至开始起作用的时间间隔，且两个样本独立. 为此，先构造且

已知，胡

的点估计

，由于

为样本，

，待检验的一对假设为

，

设两总体均为正态分布且方差分别为已知值

的分布完全确定. 据此，可采用u 检验方法，检验统计量为

当矾成立时，检验的拒绝域为

，对于本题的检验问题，在给定的显著性水平理下，

.

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