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一、计算题

1． 已知男人中有

是色盲患者，女人中有

是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中

随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

【答案】记A 为事件“任选一人是色盲患者”，记B 为事件“任选一人是男性用贝叶斯公式

2． 在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率.

【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定, 记弦的中点与圆心的距离为X ， 则样本空间为可表示为其长度为

，其长度为

由圆的性质知事件A 为“弦的长度大于R ”

（如图1）， 于是所求概率

图1

3． 设

【答案】

，试证

.

.

4． 一辆重型货车去边远山区送货. 修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2, 你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？

【答案】此车在途中因轮胎损坏而发生故障意味着车上的六个轮胎至少有一个发生故障， 为此记事件为“第i 个轮胎发生故障”，其中i=l，2, 表示前面两个轮胎，i=3, 4, 5, 6表示后面四个轮胎，

则

.

又假设车上的六个轮胎工作是独立的，则所求概率为

5． 设

与

独立同分布，其共同分布为

试求

与

的相关系数，

其中a 与b 为非零常数.

【答案】先计算Y 与Z 的期望、方差与协方差

.

然后计算Y 与Z 的相关系数

.

6． 一射手单发命中目标的概率为

射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命中

的联合分布和条件分布.

目标所需的射击次数，Y 为总共进行的射击次数，求数X 服从几何分布

即

【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中，首次命中的射击次

其中p 为命中概率，第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布

由于X 与

相互独立，所以条件分布

从而

的联合分布列为

另一条件分布

注:从以上条件分布列

第一次命中目标的射击次数X 是在前面

可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下，

次射击中等可能的.

即

7． 设

是来自均匀分布的样本，试给出一个充分统计量.

【答案】总体的密度函数为

于是样本的联合密度函数为

即

并取

由因子分解定理，

8．

设

【答案】由于于是，

其导函数为

其中从而并在

处取得最大值，即

于是，只要有

即

最小的常数为

就可保证对任意的

表示

的密度函数，由于

这说明

故

为减函数，

所以

的值依赖于

它是的函数，记为

是来

自

为参数

的充分统计量.

有

的样本，试确定最小的常数c ，使得对任意

的

9． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

. 而当k ≥ 1时有