当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

【答案】令在又有

内可导,

, 故由柯西中值定理, 存在

, 证明存在

. 使得, 则

在, 于是当, 使得

2． 设f 为

【答案】设中值定理,

存在

, 使得

3． 设函数f 在

【答案】设由于是

得

同理, 由

也可推出

, 因此,

上满足方程, 令

, 且

, 则

. 由归结原则得

. 证明:

上的单调递减函数, 证明:对任何正整数n 恒有

, 贝岫题设知, g （x ）在

上为非负、递减函数. 由积分第二. 上连续,

时, , 即

与

不同时为零.

二、解答题

4． 设函数f （x ）在

计算

第 2 页，共 25 页

内满足且,

【答案】方法一

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

方法二当

时, 有

故

5． 方程

【答案】

令②F （0, 1, 1）=0; ③④

6． 确定下列函数的单调区间:

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）（x ）递减.

（2）f （x ）的定义域为因此在

（3）f

（x

）的定义域为

在

和

上,

（4）f （x ）的定义域为

上均为单调递增.

.

,

, 导函数为:

递减; 在, f （x ）递减.

, 故

在定义域上恒正, f （x ）在

.f （x ）递増 , 故在[0, 1]上

,

递增;

.

. 故在

上,

. , f （x ）递增在

上,

f

；

均在上述邻域内连续；

在点（0, 1, 1）的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？

, 则

①F （x , y , z ）在点（0, 1, 1）的某邻域内连续；

故由定理知, 在点（0, 1, 1）的某邻域内原方程能确定出函数x=f（y , z ）和y=g（x , z ）.

第 3 页，共 25 页

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

7． 图所示为河道某一截面图. 试由测得数据用抛物线法求截面面积

.

图

【答案】由定积分近似计算抛物线法公式得到

8． 试在数轴上表示出下列不等式的解:

（1）（2）

（3）

【答案】（1）由原不等式得

不等式组①的解

是

不等式组②的解

是

图1

（2）原不等式同解于不等式在数轴上表示如图2所示

.

图2

（3）原不等式的解x 首先必须满足不等式组

解得即

当

第 4 页，共 25 页

故的解集

是

在数轴上表示如图1所示

.

由此得原不等式的解为

原不等式两边平方得

时, 不可能成立, 故原不等式无解.