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一、证明题

1． 设

（2）

【答案】（1）一方面, 若这表明

.

另一方面, 因为

表明

（2）且

, 即

（3）一方面, 由（2）有另一方面,

, 则

且

又因为f 是一一映射, 所

以

.

. 综合两方面, 有

2． 证明:（1）设f 在上可导, 若

（2）设f 在【答案】（1）设因为（2）把函数其中

个线段方程组的系数矩阵为A , 则

.

把

上n 阶可导,

若

和

所以

, 则

, 故

; , 即

使

,

使

,

使y=f（x ）,

即

, 这表

明

, 则或

,

即

综合两方面, 有

. , 使y=f（x ）因为

.

, 使y=f（x ） .

或

. 所以

且

, 则

从而

, 这

, 则

, 使y=f（x ）所以

A , B 是X 的任意子集, 证明:（1）

; （3）若f 是一一映射, 则

, 则

或, 总

, 若

, 则, 使y=f（x ）, 即

.

. 使y=f, （x ）

,

;

都存在, 则都存在, 则

, 由拉格朗日中值定理得

都存在且相等, 所以有

, 故

看作未知数, 解上述线性方程组. 设这

在点x 处展开为n-l 阶泰勒公式得

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由范德蒙行列式的求值公式知,

. 于是,

的线性组合. 由

可以表示为

存在可得

. .

，证明

:

存在（其中

于是

. 由

3．

设

【答案】

存在（k=1,

2

, n-1）. 根据（

1）的结论

,

的存在性可知

，c 为常数，

同理，

所以

4． 证明:

函数

在点（0

, 0）连续且偏导数存在

, 但偏导数在点（0,

0）不连续, 而f 在点（0, 0）可微. 【答案】当

时

当

时

但由于

因此f 在点（0, 0）连续.

不存在（可考察y=x情况）,

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因此当时

, 的极限不存在, 从而在点（0, 0）不连续.

同理可证

在点（0, 0）不连续, 然而

所以, 在点（0, 0）可微且

, 则当f

5． 设f 、g 均为定义在[a, b]上的有界函数. 证明:若仅在[a, b]中有限个点处

在[a, b]上可积时, g 在[a, b]上也可积, 且

【答案】设f （x ）与g （x ）在[a, b]上的值仅在k 个点

处不同, 记

, 使当

f x ）, 由于（在[a, b]上可积. 存在

时, 有

, 则当

时, 有

当

时,

, 所以上式

中至多仅有k 项不为0, 故

这就证明g （X ）在[a, b]可积, 且

6． 设pn , qn 如（8）式所定义. 证明:若

.

条件收敛. 则级数

与

都是发散 的

.

【答案】若又由故

7． 试证明

【答案】令

收敛, 则由可得

收敛, 故

收敛, 与题设

条件收敛矛盾,

条件收敛可得发散. 同理可得

发散.

.

则

于是原不等式左边变为