2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛, 则求其值:
（1）（4）（7）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
第 2 页，共 33 页
; （2） （5） （8）
（3）
; （6）
; ;
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（6）
（7）
因为（8）
因为
发散, 所以
发散
发散, 故
发散
2． 设F （x , y , z ）可以确定连续可微隐函数:x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）试证:
（偏导数不再是偏微分的商! ）
【答案】
因为
3． 设
（1）gradr （2）（2）设
得
得
则
【答案】（1）由
4． 设f （x , y ）为连续函数, 试就如下曲线:
（1）L :连接 A （a , a ）, C （b ,
a ）的直线段;
（2）L :连接A （a , a ）, C （b , a ）, B （b , b ）三点的三角形（逆时针方向）, 计算下列曲线积分:
第 3 页，共
33 页
,
所以
试求
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【答案】曲线如图所示,
图
（1）直线段L （AC ）的方程y=a,
所以
（2）
5． 若f （x , y ）在有界闭区域D 上连续, 且在D 内任一子区域f （x , y ）=0.
【答案】
假设存在, 使得对一切
故必在D 上f （x , y ） =0.
6． 求下列级数的和:
（1）（2）
.
, 易知其收敛域为
, 由幂级数的性质知
,
使得
,
有
.
不妨设
则
. 由连续函数的保号性知:
存在, 与已知
矛盾.
上有
, 则在D 上
【答案】（1）设
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