2017年首都师范大学应用统计,金融统计,数学教育统计之工程数学—线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 求下列矩阵的特征值和特征向量：
【答案】
所以A 的特征值为
（三重根）.
对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.因
（2）
所以A 的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0，由
得对应的特征向量当
时，解方程Ax=0, 由
得对应的特征向量当
时，解方程（A —9E ）x=0, 由
得对应的特征向量（3）特征多项式为
所以A 的特征值为当
时，解方程（A+E）x=0,
得对应的线性无关特征向量为
当时，解方程（A-E ）x=0，
得对应的线性无关特征向量为
2． 设A 为列满秩矩阵，AB=C, 证明方程Bx=0与Cx=0同解.
【答案】若x 满足Bx=0, 则ABx=0, 即Cx=0.
若x 满足Cx=0, 即ABx=0, 因A 为列满秩矩阵，知方程Ay=0只有零解，故Bx=0. 综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.
3． 设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A 正定
由
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
4． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
对应特征值
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量对应特征值
解方程（A-2E ）x=0，由
得单位特征向量
对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵，再作正交变换x=Py, 便把f 化为标准形
（2）二次型的矩阵为
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