2017年深圳大学FS69线性代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设3阶矩阵A 的特征值为
对应的特征向量依次为
求A.
【答案】因A 的特征值互异，故知向量组P 为可逆阵，且有
用初等行变换求得
线性无关，于是若记矩阵
则
于是
2． 设
线性无关，线性相关, 求向量B 用线性表示的表示式.
使
【答案】方法一、因
因线性无关，故
线性相关，故存在不全为零的常数
，不然，由上式得
，这与
不全为零矛盾. 于是得
方法二、因关. 又因
线性无关，故
线性相关，故
，于是存在使
线性相关，即
线性相
3． 设A , B 都是正交阵，证明AB 也是正交阵.
【答案】方法一、由定义，知AB 为正交阵.
方法二、因A , B 为正交阵，故A ，B 均可逆，且
，从而AB 是正交阵.
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于是AB 可逆，且有
4． 设
【答案】因
其中
故
于是
5． 设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x.
因由
再求正交阵P. 对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得基础解系
把它们正交化、单位化，得
对应于
解方程（A+4E）x=0, 由
得单位特征向量
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求
与相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
是A 的特征值，有
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A 的特征值为
则P 是正交阵，且有
6． 设A 为n 阶矩阵，
证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A 的特征值是特征多项式
从而A 与
7． 问取何值时，齐次线性方程组
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
有非零解？
【答案】若方程组有非零解，它的系数行列式
D=0
故当
或
或
并且不难验证：
当
时
，
时方程组有非零解.
对于函数的线性运算构成3维线性空间.
求微分运算D 在这个基下的矩阵.
当
时
，
时
，
均是该方程组的非零解. 所以当
8． 函数集合在V 3中取一个基
的像，即可求得D 在上述基下的矩阵：
【答案】根据微分运算的规则，容易看出D 是中的一个线性变换，直接计算基向量在D 下
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