2017年深圳大学FS69线性代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设AP=PA,
其中
求
【答案】因
故P 是可逆阵. 于是，由AP=PA得有因于是
是三阶对角阵，故
并且记多项式
2． 设n 阶行列式
把D 上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得
，为此通过交换行将
变换成D , 从而找出
与D 的关系.
的最后
证明
【答案】（1）先计算
一行是D 的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行，共进行n-1次交换；这时最后一行是D 的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行n-2次交换；... ，直至最后一行是D 的第n-1行，再通过一次交换将它换到第n-1行，这样就把
次交换，故
变换成D ，
共进行
（2）计算下翻转得
则
注意到
的第1，2, ... ，n 行恰好依次是D 的第n ，n-1, ... ，1列，故若把
于是由（1）
（3）计算
，注意到若把
逆时针旋转90°得
则
的第1，2, …，n 列恰好是D 的第
3． 设A 为三阶矩阵
，
【答案】因得
两端取行列式得
4． 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,
已知
是它的三个解向量，
且
求
故A 可逆. 于是由
及
n , n-1, …1列，于是再把
左右翻转就得到D. 由（1）之注及（2）, 有
上
的第1，2, ... ，n 行依次是D 的第1，2, ... ，n 列，即
求该方程组的通解.
【答案】记该非齐次方程组为AX=B，对应齐次方程为AX=0.
因R （A ）=3, 则知此齐次方程的基础解系由1个非零解构成，也即它的任一非零解都是它的基础解系. 另一方面，
记向量
且直接计算得
这样，就是它的一个基础解系. 根据非齐次方程组解的结构
，则
知，原方程组的通解为
5． 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求
【答案】由特征值性质得A 的特征值时，阶方阵，
故
是B 的特征值. 分别取
知A 可逆，并且
因为当
为
知-1，5, -5是B 的特征值. 注意到B 为3
6． 已知
（1）能由（2）不能由
，故
（2）方法二：（1）
无关）；又，表示.
（2）反证法：若能由由盾. 7． 设
，
线性表示，从而可知
线性表示；
线性表示.
证明
【答案】方法一：（1）由，知则知能由，则知不能由
向量组向量组
线性无关
线性相关. 于是，必能由
，又己知
线性表示； 线性表示. （惟一地）线性
线性无关（整体无关则部分
线性表示，而由（1）, 可由线性相关. 于是
线性表示. 这样，也就能
，此与
相矛
，c 与a 正交，且求
因
正交，有
有
故
【答案】以左乘题设关系式，得
得
而
8． 设向量组线性表示.
线性相关，且证明存在某个向量，使能由
，
【答案】方法一、
因为向量组使
线性相关，由定义知，存在不全为零的数
按足标从大到小考察上式中系
数
. 此足标
全为零矛盾. 这时（1）式成为
，设其第一个不为零的数
为
由
知
. 也
即，
但
如若不然，
该式成为，此与这些系数不
于是上述向量即满足要求. 方法二、记
. 由题设，A 的列向量组线性相关，故
线性表示.
设是A 的行阶
因
能由
梯形，则中一定存在不含非零首元的列
，注意到的第1列是含非零首元的，故
线性表示，故A 中对应的也能由