2017年首都师范大学应用统计,金融统计,数学教育统计之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型.
2． 设向量组
【答案】对含参数a 和b 的矩阵
的秩为2, 求a , b.
作初等行变换，以求其行阶梯形
.
，3阶主子式，即
则
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
于是
3． 求一个正交变换化下列二次型成标准形
（1）（2）
【答案】（1）二次型f 的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值值为
对应特征值
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量对应特征值
解方程（A-2E ）x=0，由
得单位特征向量
对应特征值解方程（A-5E ）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵，再作正交变换x=Py, 便把f 化为标准形
（2）二次型的矩阵为
它的特征多项式为
所以A 的特征值为对应
解方程（A-2E ）x=0,
由
得单位特征向量
对应
解方程（A-E ）x=0, 由
得单位特征向量
对应解方程（A+E）x=0, 由
得单位特征向量
令
则P 为正交阵. 再作正交变换x=Py,
4． 用配方法化下列二次型成规范形，并写出所用变换的矩阵：
（1）（2）（3）
即化f 为标准形：
【答案】⑴由于f
中含变量的平方项，故把含的项归并起来，配方可得
令
即
写成矩阵形式：x=Cy，这里
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