2017年山东大学计算方法、线性规划、数学模型(各约占1,3)之工程数学—线性代数考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设向量组B
:
线性表示为
无关的充要条件是矩阵K 的秩R （K ）=r.
【答案】方法一、记
于是
，则有B=AK.（2）
但K 含r 列，
有
即R （K ）=r，k 为列满秩矩阵.
必要性：设向量组B 线性无关，知R （B ）=r.又由B=AK，知充分性：设R （K ）=r.要证B 组线性无关. 由于
因此，向量组B 线性无关.
方法二、由（2）式，因R （A ）=S，A 为列满秩矩阵，则知R （_B）=R（K ）。于是B 组线
性无关
2． 设
（1）证明
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A
与对角阵
=1, 从而R =1, 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值.
能由向量组A
:
，其中K
为
矩阵，且A 组线性无关. 证明B 组线性
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】
首先证明
相似，其中
于是只有一个非零对角元，即
其次，求A 的非零特征值，因再求A 的特征向量. ①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
②用两种方法求对应于方法一：
由对称矩阵性质知
的特征向量
的非零解. 而由⑴式
都正交，
即是方程
知
故可取方法二：由有
两边转置得这样
就是A 的n 个线性无关的特征向量
按定义，即知A 有非零特征值且对应特征向量为
3． 求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式：
（1）
（2）
（3）【答案】⑴
故它的秩为2, 并且它的第1、2行和第1、2列构成最高阶非零子式. （2）
于是它的秩为3, 且它的第1、2、3行和第1、2、5列构成最高阶非零子式. （3）
于是它的秩为3. 由于3个非零行的非零首元位于第1、2、5列，故在第1、2、5列所构成的
矩阵中寻找3阶非零子式. 容易看出
4． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.
【答案】因 5． 设
,
,
故AB
为对称阵
证明三直线
相交于一点的充要条件为向量组a ，b 线性无关，且向量组a ，b ，c 线性相关.