2017年南昌大学线性代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设
【答案】
是一组n 维向量，已知n 维单位坐标向量线性无关.
可由
线性无关
2． 设
为正定二次型，求a. 线性表示
能由它们线性表示，
证明
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A 正定
由
3． 在R 中取两个基
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵； （2）求向量
【答案】（1）显然有
在后一个基下的坐标；
（3）求在两个基下有相同坐标的向量
所以过渡矩阵为（2）设向量在后一个基
下的坐标为
则由坐标变换公式，有
（3）设向量Y
在两个基下有相同的坐标
为Y ，则
，
由坐标变换公式并仍记坐标向量
即（P-E ）Y=0.易求得此齐次线性方程系数矩阵的秩R （P-E ）=3,
从而解空间的维数等于1，且为它的一个基础解系. 故所求向量为k 为任意常
数. 4．
设
求X.
【答案】AX=2X+A得（A-2E ）X=A.欲解此方程，需要①判断A-2E 为可逆矩阵；②进一步
-1
求X=（A-2E ）A. 这两件事可由（A-2E , A ）的行最简形一起解决
.
上述结果表明
故A-2E 可逆，且
5． 用矩阵记号表示二次型：
（1）（2）（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
6． 判定下列二次型的正定性：
（1）（2）
【答案】（l ）f 的矩阵
它的1阶主子式
3阶主子式，即（2）f 的矩阵
它的1阶主子式1>0; 2阶主子式
知f 为正定二次型.
7． 写出下列二次型的矩阵：
（1）
，3阶主子式，即
则
2
阶主子式
则知f 为负定二次型.
【答案】⑴记故f 的矩阵为
则
（2）与（1）相仿，
故f 的矩阵为