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一、证明题

1． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.

【答案】根的存在定理:若函数f 在闭区间点

使得性知, 对

每一点

. 存在x 的一个邻域

, 使得f （x ）在

内保持与f （x ）相同

它

的符号. 于是,

所有的的右端点动, 得到开区间（x ）在每一个

形成[a, b]的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理, 从中可以选出有限个开区

, 以此类推, 经过有限次地向右移

这n 个开区间显然就是[a, b]的一个开覆盖.f

.

,

有

由连续函数的局部保号

假设方程f （x ）=0在（a , b ）内无实根, 则对每一点

上连续, 且f （a ）与f （b ）异号, 则至少存在一

间来覆盖[a, b]把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间, 设为

又属于S 的另一个开区间, 设为

,

使得

f x ）f a ）内保持同一个符号. 在内（与（具有相同的符号. 因为

, 使得

.

, 其中等号仅在f （x ）为常

所以f （x ）在内也具有f （a ）的符号. 以此类推, f （b ）与f （a ）具有相同的符号. 这与f （a ）与f （b ）异号矛盾. 故至少存在一点.

量函数时成立.

【答案】

其中

若等号成立, 则对任何即

、 , 有

,

所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数.

存在.

2． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式

3． 设函数f （x ）在点x=0的某邻域内有定义,

证明:

绝对收敛

.

【答案】:由于从而

存在且, 则有

故=>:因为导数定义有

当

4． 设f :是否必为闭集?

【答案】不一定, 反例: （1）对于连续函数（2）对于连续函数

5． 证明:若

【答案】

6． 设函数f 在[a, b]上有定义, 且对于任给的

使得

证明f 在[a, b]上可积. 【答案】因为, 存

在相应的分割T , 使得

, 因此

而

, 故

即f 在

上可积.

这里

表示函数g （x ）在相应小区间上的振幅. 所以

又因为函数g （x ）在[a, b]上可积,

所以对任给的

存在[a, b]上的可积函数g ,

存在, 则

|为开集, 但f （A ） = [0, 1）不是开集.

为开集, 但f （B ） = （0, 1）不是闭集.

绝对收敛时, 只能有为连续函数绝对收敛.

绝对收敛, 所以

, 又f （x ）在点x=0连续, 所以f （0） =0, 由, 即. （否则

与

.

的敛散性相同, 矛盾）.

为任意开集' 为任意闭集, 试问, f （A ）是否必为开集?f （B ）

二、解答题

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7

． 设a>0, 求曲线

【答案】设数为

上的点到xy 平面的最大与最小距离.

为曲线上任一点, 易知z>0, P

到xy 平面的距离

d=z,

构造拉格朗日函

对L 求偏导并令它们都等于0得

解之得

或

因此〔值点在其中取得.

由于d=z在有界闭集与

8．

上存在最大值与最小值, 因此

）与（

）是

的稳定点, 且所求的条件极

时z=a就是所求曲线上的点到xy 平面的最小与最大距离.

【答案】

利用定积分的定义求解

.

9． 在

上展开f （x ） =x+cosx为余弦级数.

上的偶函数,

【答案】将f （x ） =x+cosx延拓为则

,

由收敛定理, 对

,