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一、证明题

1． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:

（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是

（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则

2． 证明定理: 数列

收敛于a 的充要条件是:

的极限是1. 为无穷小数列, 则

按照数列收敛的定义, 数列

于是, 对任意收敛于a.

时

,

即

存在N , 使得

当

存在N , 使

即

于是, 数列（2）因为

3． 证明:若f 在[a, b]上可积, 在则有

【答案】设点的任何取法, 只要

则由定积分定义, 对任给的

, 就有

由f （x ）在[a, b]上可积知, f （x ）在结论显

然成立.

现设

,

由于

在

上连续, 又由于

在

上可积, 故有界, 又由导函数的达布

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对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

,

故, 故

为无穷小数列.

并应用它证明数列【答案】（1）充分性, 设得当

时, 必要性, 设数

列

收敛于a , 那么, 对任

意

为无穷小数列.

收敛于0, 即

是无穷小数列, 所以上严格单调且

在

上可积,

,

. , 使得对[a, b]的任何分割及分

上有界. 设. 如果M=0, 则f （x ）=0, 此时

定理知且

没有第一类间断点,

故

时, 恒有

在上连续. 从而一致连续, 故存在,

使得当

对

于

上的任何分割

‘上对

令

, 则得

用拉格朗日中值定理, 得

的一个分割. 从而当

时（此时

满足

且

故

即

, 且

）, 有

及任意分

点

,

在

二、解答题

4． 设f （x

）在

上有界

,

存在, 且

. 求证:b=0.

; 另一方面, 由f （x ）有界,

知

【答案】一方面, 由洛必达法则,

.

,

从而b=0.

5． 设

2

求它在（1, 0）点的偏导数.

, 同样因. , 所以

,

,

, 所以. , 同样因

.

【答案】方法一 因f （x , 0）=x, 所以方法二 因

得

可见求具体点的偏导数值时, 第一种方法较好.

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6． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:

（1）（2）

【答案】（1）由于D 的面积为, 所以, 的平均值

（2）由D 的体积为

, 令

, 得

, 所以

所以平均值

7． 设

求

则有

所以

Abel 不等式

8． 分别求出满足下述条件的常数a 与b :

（1）（2）（3）【答案】 （1）

（2）

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【答案】设