当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明下面的方程在点, （0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y）并将f （x , y ）在点（0, 0）展开为带皮亚诺型余项的二阶泰勒公式.

【答案】令

则F （x , y , z ）在点（0, 0, 0）的邻域内连续,

在点（0, 0, 0）的邻域内连续, 且由隐函数求导法则易知

所以

于是

2． 设函数f 在（a , b）上连续, 且

（1）f 在（a , b ）内有界； （2）若存在【答案】（1）令

因为f 在（a , b ）连续, 所以F （x ）在[a, b]连续. 因此F （x ）在[a, b]上有界, 所以F （x ）在（a , b ）上亦有界, 即f 在（a , b）上有界.

（2）因为F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上能取到最大值. 又因为

, 使

, 即

,

, 于是由隐函数存在定理, 方程F （x , y , z ） =0

在点（0, 0, 0）附近惟一确定了隐函数z=f （x , y ）, 满足f （0, 0） =0.

与为有限值. 证明:

, 则f 在（a , b ）内能取到最大值；

, 使得

（3）f 在（a , b ）上一致连续.

. 所以F （x ）在

[a, b]上的最大值可以在（a , b ）内取得, 即f （x ）在（a , b ）内能取到最大值.

（3）由（1）知F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上一致连续. 显然f （x ）在（a , b ）上一致连续.

3． 设

证明:

在使

连续, 在内可导,

【答案】构造辅助函数由于使得整理得

则由罗尔中值定理得, 存在,

,

,

由于 4． 设

在

从而函数上连续, 且

单调,

证明

从而原式成立.

使则

在

上连续,

.

【答案】作因（1）若（2）若

故则取则因

使得

则

故由零点存在定理知, 存在

5． 设f 为傅里叶系数, 证明

上的光滑函数, 且

即

为f 的傅里叶级数

为f 的导函数的

【答案】因为f

为又

故

上的光滑函数, 所以f （x ）在上有连续的导函数

即

6． 证明下列各式

（1）（2）（3）（4）

【答案】（1）令（2）设

代入原方程有:

（3）令（4）令

则则

,

因此

因此

则

, 则

,

因此

二、解答题

7． 计算积分

其中S : x+y+z=t,

【答案】将z=t－x －y 代入

整理可得:

由此可知, 当当

时, 平面S 在球

内;

之外, 所以

时, 平面S 在球