2018年南京邮电大学理学院602数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
【答案】设
在R 上严格增.
则
即
故
在
上严格增.
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
而
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
所以
故
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,
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3． 设f 在区间
上有界, 记
证明
【答案】
对任意的即
故
设为任意正数, 则存在于是有
故
4
． 设
且
是一个严格开区间套
, 即满足
证明:存在惟一的一点
使得
【答案】由题设知
, 使得
5． 证明定理及其推论.
【答案】
用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体
设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于
上任一点, 在
上有
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t 于是有
使得
是一个闭区间套. 由区间套定理知, 存在惟一的点, 又因
, 所以
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按下标j 与k 相加, 则有
及
由于f （x , y , z ）在V 上可积, 当上可积, 且
6． 设
, 证明函数
存在惟一的零点.
, 所以存在
, 所以f （x ）在
使
.
之间至少存在一个零点.
上单调递增, 所以f （x ）存在惟一的零点.
时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a, b]
【答案】因为
则由f （x ）显然连续知, f （x ）在又因
二、解答题
7． 设
（1）（2）（3）【答案】 （1）
（2）
（3）
8． 试求下列极限（包括非正常极限）:
（1）（2）
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为可导函数, 求:
|
.