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一、证明题

1． 设

为来自指数分布

的样本，

为来自指数分布

的样本，且两组

样本独立，其中

（1）求假设

是未知的正参数.

的似然比检验；

（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量

在原假设成立下的分布.

【答案】样本的联合密度函数为

参数空间分别为

下参数的最大似然估计

为

则似然比统计量为

而

在

由微分法容易求出在

下参数的最大似然估计

为

由求导可知，函数为

或者

这就证明了（2）的结论.

为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写

注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得

再注意到

诸

2． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明

：

【答案】

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与

诸

间的独立性，在原假

设成立下，有如下抽样分布

：

3． [1]如果

试证: （1）（2）[2]如果

【答案】（1

）因为

时

即

（2）先证

明

成立, 进一步由

. 对任意

的

成立, 对取定的M , 存在N , 当

这时有

从而有

由即[2]若对任意的

的任意性知

成立.

是m 次多项式函数, 即

取M 充分大,

使有于是有

对取定的M ,

因为

是连续函数,

所以可以用多项式函数去逼近

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是直线上的连续函数, 试证:

,

可得

所以又有

取M 足够大（譬

如

时, 有

成立. ）, 使

有

,

故当

有

同理可证由上面（1）得

则由题[1]知有

,

又选取

下证一般情况,

充分大,

使当

时,

有

并且在任意有限区

间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项

式

对取定的m 次多项式

时, 有

又因为

因为

, 使得

当

所以存在

时,

有使当

当又因为

且

所以

从而有

由

的任意性即知

, 结论得证.

4． 证明:对任意常数c , d , 有

【答案】

由

得

因而结论成立.

5． 设

的样本, 证明

是来自几何分布

是充分统计量.

其分布列为

时, 有

【答案】由几何分布性质知,

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