2017年安徽大学经济学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． （伯恩斯坦大数定律）设
证明:
【答案】
记
所以
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
,
样本方差分别为
2． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
证明:
是方差一致有界的随机变量序列, 且当
任
对
存在M>0,
当
时,
一致地有
时,
有
服从大数定律.
3． 设
【答案】由
服从均匀分布
可知
试证
及
都是的无偏估计量，哪个更有效？
的密度函数分别为
从而
故，由又可算得
从而
故
即
更有效.
知两者均为的无偏估计.
事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的.
4． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
5． 设总体二阶矩存在,
的特征函数, 由唯一性定理知是样本, 证明
则
由
因而
, 且X
的相关系数为
与
【答案】不妨设总体的方差为
由于,
所以
6． 设为一事件域，
若
试证： （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算【答案】（1）因为（2）构造一个事件序列
由此得（3）因为（4）因为（5）因为
7． 证明:若
所以
所以
所以则对
有
并由此写出
与
其
中
由
由
由（3）（有限交）得
得得
为一事件域，所以
其中
故其对立事件
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于