2017年重庆大学数学与统计学院820高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 2． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令
由②有
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线性无关.
所以向量组
为空间的两组基，且
线性无关.
将①代入④得
即
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设线性方程组的解都是线性方程组的解，则（ ）。
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
则
所以
则A 与B （ ）.
二、分析计算题
6． 证明：如果
不全为零，且
那么
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【答案】由可得
因此根据定理3知
7． 设
是n 个互不相同的整数，证明
在
内不可约.
它在
故
同为1或一
1.
显然没有实根，故内不变号. 于是对一切
若
因
而它们的次数
都为而有
得到矛盾. 若故
不能有如上的分解，因此在
同样能导出矛盾. 中也不可约.
但故
又
的首项系数
故
的首项皆为1. 于是
皆为整系数及
则
也没有实根.
由数学分析知道函数
都等于1或都等于-1.
都有n 个不同的
根
与
在区间
中不可约等价于它在
中不能分解为两个较低次数的多项
此
时
【答案】
式的乘积. 用反证法.
设
8． 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.
【答案】令无关组.
（1）（2）
（3）任一解是
与
等价，故每个是
：的线性组合. 又
皆为某齐
次方程组的解，它们的线性组合也是该方程组的解，故每个皆为该齐次方程组的解.
是线性无关的.
的线性组合，
又能由
线性表出. 由线性表出的传
是某齐次线性方程组的基础解系，
是与它等价的线性
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