2018年江苏大学理学院853高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 在
中定义线性变换
求【答案】
故
在
下的矩阵是
类似的计算可得.
在
下的矩阵分别是
在基
下的矩阵.
2． 证明元素为0或1的三阶行列式之值只能是
【答案】设
若
行列式的性质得到
其中
的值只能为0或
，从而由①式，可知
第 2 页，共 28 页
那么否则，不失一般性，
可设
（如果中有一不然后，由
为0时，交换A 的两行，可使的位置不为0, 而值只相差一个符号），这时
的值只可能是或
3． 指出下列线性空间的维数, 若为有限维时各给出一基:
①是由0及数域K 上二元n 次齐次多项式作成的线性空间；
②是复数集对数的普通加法与乘法作成的实数域R 和有理数域Q 上的线性空间. 【答案】 ①二元用X , y 表示, 则显然示, 故为的一基, 的维数是n+1.
②是实数域R 上的2维空间, 因为显然1, i （虚单位）为其一基, 又作成有理数域Q 上无限维空间, 因为例如, 中数
4． 在4元行空间中求
（为圆周率, 是超越数）中任意有限个均线性无关. 在以下基下的坐标:
【答案】设以为4元行空间的基.
求在此基下的坐标, 即求线性方程组
的解. 但易知（对此方程组的增广矩阵施行初等
行变换, 或利用初等行变换求A 的逆方阵）此方程组的解为
故在此基下坐标为
为列向量的4阶方阵为A , 易知
故
确定
都是二元n 次齐次多
项式, 且根据多元多项式相等可知线性无关. 又显然K 上每个二元n 次齐次多项式都可由其线性表
二、证明题
5． 如果A 与B 相似，C 与D 相似，证明
【答案】设
，则
故
相似.
相似.
6． 设A 为n 阶实反对称矩阵. 证明:
且当n 为奇数时
②当A 可逆时
且
也是反对称矩阵.
是根为0或纯虚数的实系数
其中
为非零实数. 于是
（1）
第 3 页，共 28 页
①因为A 为实反对称矩阵, 故特征多项式【答案】
多项式, 其虚根必成对出现. 现设其全部根为
由于当n 为奇数时至少有一个特征根0, 故②当A 可逆时, A 不能有特征根0, 故由（1）得
又因为 7．
不全为0，求证:
故也是实反对称矩阵.
（1）
【答案】证法1令
则（1）式改为
且
于是
且
此即
再由（3）有
从而存在使两边乘有
进而，
由（6）知 （7）
由（4），（7）得证（1）.
证法2令
则
从而
8． 设A , B为n 阶对称方阵,
与
是多项式
的不同的根, 且
分别为方程组
的解. 证明:
【答案】由题设知:故
又因为
故由上可得
第 4 页，共 28 页
2）
（3）
4）
5）
6）
（ （ （ （