2018年昆明理工大学理学院843高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 二次型
【答案】2
【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵
2． 设矩阵
显然r （A ）=2
的秩为_______
且秩【答案】-3. 【解析】但 3． 若
时秩
则 k=_____.
则从而k
，所以
或
则V 对于通常的加法和数乘，在复数域C 上是____维的，而在实数域R 上是____维的. 【答案】2; 4
【解析】在复数域上令则
此即证可由在实数域上, 令
若
. 此即
所以在实数域R 上，有
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则
是线性无关的
.
线性表出.
, 其中
在R 上线性关
.
可由
，则
线性表出，
4． 设
是3阶方阵A 的伴随阵，
所以
则
_____.
【答案】
【解析】因为
二、计算题
5． 设R 是实数域，
（1）证明函数（2）任意给定【答案】（1）设
，在V 中找到
是闭区间[0, 1]上的实连续可微函数的集合，V 在函数的加法
在V 中线性无关.
个线性无关的向量，并证明你的结论. 两边求导得方程组
令式得线性方程组
解得（2）对于设
，故，故
线性无关.
由多项式的性质知
是V 中
个线性无关的向量.
是有限维向量空间，有限维向量空间不能与无
和数乘函数的运算下是一个向量空间.
（3）对某个m , 是否有V 和R 同构，如果是给出证明，如果不是，说明理由.
（3）由（2）知V 是无限维向量空间，而
限维向量空间同构. 否则V 将与自己的有限维真子空间同构，这是不可能的.
6． 设3阶实对称阵A 的特征值是1, 2, 3.矩阵A 属于特征值1, 2的特征向量分别是
（1）求A 属于特征值3的特征向量；
（2）求矩阵A.
【答案】 （1）没A 属于特征值3的特征向量为
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由于A 是实对称阵, 属于不同特征值的特征向量相互正交, 所以有
由齐次方程组①得基础解系
这里a. 就是A 属于特征值3的特征向量. （2）令
则由可得
7． 计算n 阶行列式
【答案】解法1从第n 行开始. 每行都减去上一行，得
再将第n 列加到其余各列，便得一个主对角线上元素为式. 因此
解法2从第一行开始，每行都减去下一行，得
的上三角形行列
再将第一列加到其余各列，便得一个主对角线上元素为
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的下三角形行列式.
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