2018年淮北师范大学数学科学学院821高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 选择i 与k 使
成偶排列；
成奇排列.
【答案】
2． 计算
n 级行列另的值，其中
【答案】将升阶
3． 设
A 为实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P ，
使得
其中【答案】因为
正定，从而存在正交阵P ，使
由于令
不失一般性，可设
由②得
将P 分块. 令
则
由于P 为正交阵，因此令又因为
，则
为
用P , 左乘，h 右乘④式两端得
实矩阵，且
所以
由⑦可得
由于秩
矩阵
因此
,
这样由
有可得
但
令
由于
从而Q 为正交阵. 并由④⑨式得
个线性无关的解. 将它们正交单位化后，
构或
由⑧式，得
其中
由⑧即证
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4． 设2n 阶方阵
其中E 是n 阶单位矩阵. （1）求A 的特征多项式
； （2）求
A 的最小多项式； （3）求
A 的若当标准形. 【答案】 （1）
（2）由（1）知A 的最小多项式至少是2
次多项式, 又因为所以
, A 的最小多项式
, 从而有（3）
由于存在n 阶
子式1, 所以有其n 阶行列式因子
又
所以
从而A 的若当标准形为:
5． 设T 是数域K 上线性空间矿的一个可逆线性变换. 证明:
①T 的特征值都不等于零； ②若
是T 的特征值, 则
是
的特征值.
是T 的属于0
的特征向量, 则
矛盾.
【答案】①反证法 设若T
有特征值0, 而又因为T 可逆, 故
因为T 可逆, 由①知
与
②设为T 的属于特征值的特征向量, 即
且由上可得