2018年湖北工业大学理学院949数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:
（1）grad （u+c）=gradu（c 为常数）； （2）
（3）（4）【答案】设（1）（2）
（3〕
（4）
2． 在[0, 1]上定义函数列
证明级数【答案】由
在[0, 1]上一致收敛, 但它不存在优级数. 定义可得
则
（
为常数）
从而时, 有
及
, 有
恒成立. 所以对于任意
取
当n>N时, 对任意的
由柯两准则知, 级数
在[0, 1]上一致收敛. 若
存在优级数特别取, 有
而正项级数发散.
所以级数发散,
这与
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为优级数矛盾, 因此级数不存在
优级数
3． 设
，证明:
【答案】
所以
二、解答题
4． 设
【答案】由于
求dz.
可微，故
5． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.
（1）若在int D内有（2）若在intD 内有
试问f 在D 上有何特性？
f 又怎样？
则
（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？ 【答案】（1）二元函数f 在D= [a, b] × [c, d]上连续, 若在int D内有这是因为对int D内任意两点
即
由
由中值定理知:存在的任意性, 知则f （x , y）=常数.
由中值定理知:存在
使得
因为
所以
由
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使得
（2）若在int D内有事实上, 对int D内任意两点
的任意性, 知f （x , y ）=常数.
（3）在（1）的讨论中, 关于f 在D 上的连续性假设不能省略. 否则结论不一定成立.
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例如
, 在矩形区域上二元函数
在int D内可是f 不连续,
二元函数
显然f 与x 有关, 结论不成立.
在（1）的讨论中, 长方形区域不能改为任意区域, 否则结论不一定成立. 例如设
在
D 上连续, 且
6． 设
（1
）求（2）
,
在点（0, 0）是否连续?
但f （1, ﹣1
）=1, f （﹣1, 1）=0, 即f 与x 又有关, 结论不成立.
（3
）f （x
, y
）在点（0, 0）是否可微. 【答案】（1）当 x=y=0 时,
同理（0, 0）=0. 当
时,
所以
（2）取而
即（3）因为
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页
, :, 则
与都不存在, 故, 在点（0, 0）不连续.