2018年湖北民族学院理学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为连续函数, u 、v 均为可导函数, 且可实行复合
与
证明:
【答案】取f （x ）定义域内一点a , 则则
, 且
于是
2． 证明:函数
【答案】因为
又由
在
及
故
上连续, 且有连续的导函数. 在
上一致收敛.
在
上连续.
令
,
上连续（n=1, 2, …）, 故
在
上连续可知,
则由定理可知
一致收敛且和函数连续. 设
即f （x ）连续且具有连续的导函数.
3． 设{an ）为实数列, 它满足不等式
【答案】由条件
知
,
, 又级数
收敛. 证明:
将以上各式乘2后相加得
因为级数
收敛, 所以
. , 由迫敛性知
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'
于是
, 故
4． 设
定义在闭矩形域
固定的
上, 若f 对y 在
上处处连续, 对X 在（a , b]上（且
当
,
且
的任何y ,
只要
关于y ）为一致连续, 证明f 在S 上处处连续.
【答案】
设
时, 有且
现取
便有
只要
f
时, 总有
因此, f 在S 上连续.
5． 证明:
（1）无穷积分（2）无穷积分【答案】利用级数法. （1）原积分
而
当
时有
故
由
发散, 可知
发散, 从而原积分发散.
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为y 的连续函数,
故对
也存在
对满足
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
发散; 收敛.
（2）类似于（1）, 有原积分
当
时利用不等式
, 有
9
故
由
收敛, 可知
收敛. 同理可证
收敛, 从而
收敛. 由此可知, 原积分收敛.
二、解答题
6． 求三叶形曲线
所围图形的面积.
【答案】如图所7K , 所围图形的面积为
图
7． 求幂级数
【答案】由于
因此另外
因此幕级数
的收敛域为
及和函数为
.
的收敛域
.
的收敛域及和函数.
8． 计算下列第二型曲面积分
（1）
, 其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a六个平面所围的立
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