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一、证明题

1． 设{an ）为实数列, 它满足不等式

【答案】由条件

知

将以上各式乘2后相加得

因为级数同理

于是

, 故

2． 设f , g 和h 为增函数, 满足

【答案】由于是

3． 证明:若函数f 和g 均在区间I 上可导, 且相差某一常数, 即

【答案】令数,

即

4． 证明曲线积分的估计式:利用上述不等式估计积分

【答案】因为

, 其中L 为AB 的弧长

, 并证明

.

, 并

. 亦即

（c 为某一常数）.

（c 为某一常数）. , 则在I 上有

可知h （x ）为I 上的常量函则在区间I 上f （x ）与g （x ）只证明:

和f , g , h均为增函数可得

收敛, 所以

. , 由迫敛性知

'

,

, 又级数

收敛. 证明:

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这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦

; 有

圆的参数方程为

,

而

从而

5．

求证:

, 故由迫敛性知

.

, 使得

只需再证明

将（1）式左端中的变易为x 作辅助函数

.

由此可见

是函数f （X ）在

内的惟一极值点, 并且是极大值点. 从而•

, 于是

【答案】

对任意给定的x>0, 由柯西中值定理,

是函数f （X ）的最大值点于是

显然由（2）式推出（1）式, 所以本题结论成立.

6．

设

为无穷小数列,

为有界数列, 证明:

为无穷小数列.

又因为

为无穷

时, 有

因此, 当n>N

【答案】

因时,

为有界数列, 故存在

所以

使得对一切正整数n , 有故

为无穷小数列.

小数列, 所以对任给存在正整数N , 当

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7． 证明:级数收敛.

则任意的n , 存在k ,

使

因

为

故b n 中使

得

所

以

【答案】证法一:

记

的项最多

有

由阿贝尔变换得

由柯西收敛准则知原级数收敛.

证法二:将该级数中符号相同的项加括号得

因为

即同理可证

故

8． 设

证明:

对任意

无界.

【答案】对任意稠密性, 可以在

这说明

在

对任意正数中选取有理数

上无界.

这样

对任意正数

由有理数的

任意正数

有

在

上

为单调递减数列且趋于0, 故交错级数

收敛, 从而原级数收敛.

二、解答题