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一、证明题

1． 给定曲面

（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:

（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因

及

与

不能同时为零, 得出

化简得

把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得

化简得

当

由函连续可微性, 知

2． 证明

【答案】分部积分, 有

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.

时, 即可看出成立.

对x=a或y=b时也成立.

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*

3． 设f 在[-a

, a]上可积.

证明:

（1）若f 为奇函数, 则（2

）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是

（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则

4． 设函数f 在[a, b]上可导. 证明:存在

【答案】令

连续, 在（a , b ）内可导, 且有

故由罗尔中值定理知, 存在

5． 按定义证明下列极限:

（1）（4）

（2）（5

）

由

得

. 取

则当

时, 有

故

（2）限制

则

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对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

,

故, 故, 使得

, 由f （x ）在[a, b]上可导可知, F （x ）在[a, b]上

,

, 使得

, 即

（

3）

【答案】（1）对任意给定的

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于是, 对任意给定的故（3）

只要取* 则当

时, 有

对任意给定的由

得

它成立的一个充分条件是取则当时有

故（4）若限制

则

时, 有

对任给的故（5）

, 取

于是

则当

对任给的

取

则当

时. 就有

故

6． 设

点

到集合E 的距离定义为

, 则

;

.

因而或

,

若

若

即

这表明

, 即

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. 证明:

（1）若E 是闭集

（2）若是E 连同其全体聚点所组成的集合（称为E 的闭包）. 则【答案】（1）因为E 为闭集, 所以E 的余集

, 现

（2）一方面

,

, 存在点列另一方面, 点, 因而

, 使

若

, 使则

又

.

这说明X 为E 的聚点, 所以不论

有

即

由

于, 即表示或. 故

都有

即

, 但

为开集,

由

. , 因

而

,

故

,

使则由

于

. 即X 为E 的聚