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一、证明题

1． 设a 为有理数, x 为无理数. 证明:

（1）a+x是无理数; （2）当【答案】（1）用反证法. 假设矛盾. 故a+x是无理数.

（2）用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数, 所以是无理数矛盾. 故ax 是无理数.

2． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则

【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得

由l 方向固定,

都是常数, 故

, 由高斯公式得

3． 设

和

在点

【答案】对于固定的x 0

与分中值定理,

即有 于是有

故

存在, 且

命题得证.

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时, ax 是无理数. 是有理数, 那么

也是有理数. 这与x 是无理数

是有理数. 这与x

其中n 为曲面S 的外法线方向. 和

, 则

的某邻域内存在,

令

在点连续, 证明则

也存在, 且

在y 0的邻域可微, 从而由微

有:

4． 设故只需考虑

故若当故若进而

证明数列

与级数

收敛, 必有时, 有

收敛必有

与

与级数

司的关系. 因为

同时收敛或同时发散.

的敛散性相同,

【答案】

注意到数列

的敛散性与正项级数

收敛；若同时发散；当

收敛, 即有

收敛；若

发散, 则有

发散, 必有

时

发散.

发散,

发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.

5． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, f （0）=f（1）=0, 证明:

（1）存在c>0, 使

（2）c 的最小值为

.

【答案】（1）将f （x ）在[0, 1]上展开成正弦级数

则

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见, 只要变成等式,

故c 的最小值为

.

, 上述不等式总成立.

时, 式（1）

（2）为求c 的最小值, 必须求f （x ）使式（1）中等号成立. 易见, 当

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6．

设

f 在点证明:

可微

, 且在P0给定了

n

个向量,

相邻两个向量之间的夹角为,

【答案】由于

所以

而

故

二、解答题

7． 设

求证: （1）（2）

与

存在;

在（0, 0）点不连续;

; 同样因f （0, y ）=0, 得

.

（3）f （x , y ）在（0, 0）点可微. 【答案】

（1）因f （x

, 0）=0, 所以（2）容易求出

令y=x,

故

在（0, 0）点不连续. 同理可知

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