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一、证明题

1． 确定常数a , b , 使当

证明:

,

【答案】

于是

欲使f （x ）为三阶无穷小量, 必须有

时

,

为x 的3阶无穷小.

解之得

2． 设f （X ）在

I

上可微, 且对x>l满足

证明:【答案】记

. , 则

因此若在一个点列

存在广义极限, 记为L.

, 对g （x ）在

. ,

则

, 使得

上应用拉格朗日中值定理, 存在

.

这表明在

使得

上存

另一方面, 由,

令可得这显然与刚才的结论矛盾, 所以

在[a, b]

3．

若把定理中一致收敛函数列上的极限函数在[a, b]上也可积.

的每一项在[a, b]上连续改为在[a, b]上可积, 试证

【答案】对[a, b]任作一分割T , 则f （x ）在上的振幅为

设特别地,

时成立.

存在

只要

就有

从而, 当

时, 有

故

所以由可积第二充要条件知f （x ）在[a, b]上可积.

4． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

则f

所以, 对任意

. 存在N , 当n ≥N 时, 有

又f n （x ）在[a, b]上可积, 故对上述的

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

于是由①、②可得，

5． 证明:当x>0时有不等式

故f （X ，y ）=常数.

【答案】令且

,

则

于是

, 使得

因

ft 上递减,

, 根据积分第二中值定理, 存在

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故

6． 证明:

f 为

I 上凸函数的充要条件是对任何函数.

【答案】充分性, 设

为[0, 1]上的凸函数,

则对任何的

及

故f （x ）为I 上的凸函数.

必要性, 设f （x ）为I 上的凸函数, 则对任何的

及

有

故

为[0, 1]上的凸函数.

7． 按定义证明下列极限:

（1）（4）

（2）（5

）

由

得

.

取

则当

时, 有

故

（2）

限制

则

于是,

对任意给定的故（3）

对任意给定的

由

它成立的一个充分条件是

取

则当

时有

, 函数. 为[0, 1]上的凸.

, 有

（

3）

【答案】（1）对任意给定的

只要取* 则当

时, 有

得