2018年福建师范大学数学与计算机科学学院838线性代数与数学分析[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 求下列函数在x=l处的泰勒展开式:
（1）（2）（3）【答案】（1）
所以f （x ）在x=l处的泰勒展开式为
（2）因所以
（3）因
所以
2． 设f （x ）在R 上二次可微, 且
. 有
而
这
在x=0处的幂级数展开式为
（1）写出（2）求证:对（3）求证:【答案】（1）
, 有
关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式;
;
（2）将第（1）小题得到的两个泰勒公式相减, 得
由此, 利用条件, 即得
（3）设, 则有
其中等号当时, 即当时成立. 将此h 值代入（1）式, 即得
3． 设方程组
试问:（1）在什么条件下, 能确定以x , y , v 为自变量, u , z 为因变量的隐函数组? （2）能否确定以x , y, z为自变量, u , v为因变量的隐函数组? （3）计算
【答案】（1）令
则 F （x , w ） =0. 因为
所以根据定理可知, 当f , g 可微, 偏导数连续, 且为自变量, u , z为因变量的隐函数组. （2）令
则因为
不能确定以x , y , z 为自变量, u , v为因变量的隐函数组.
时能确定u , z
.
时, 能确定以x , y , v
所以方程组为x , y , v 的隐函数组, 有
（3）由（1）知当f , g 具有一阶连续偏导数, 且
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故有
4． 计算下列定积分:
（1）（3）（5）（7）（9）（11）【答案】
（1）
（2）令
, 则
, 则
（3）令
则
, 则
（4）
（2）
（4）
（6）
（8）
（10
）
t
（12
）