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一、证明题

1． 设

和

为正项级数，且存在正数收敛，则级数

时

，

对一切

证明:若级数【答案】由题意

也收敛；若，从而

又因为改变有限项不改变级数的敛散性，所以由比较原则， 若级数

收敛，则级数

也收敛；若

发散，则

发散. ，有

【答案】在

则

即

.

中，令

2． 通过对F （x , y ）=sinxcosy施用中值定理，证明对某

发散，则

也发散.

，有

3． 设x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

所以得

4． 证明下列结论:

f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）

在【答案】（1）假设

, 则

）有

, 对任意正整数k ,

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, 则, 则, 使得

.

上有定义, g （x ）单调, 且

已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有从而有

（a ）为极限, 从而数列

当再证:当即

5． （1）设数列

为正的单调递减数列, 且

收敛, 证明:

收敛, 证明:

时有

时有

, 由g （x ）单调递增, 则有

, 矛盾. 从而当

时有

（2）不妨设g （x ）单调递增. 对

.

由

（正常数）, 即数列

也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是

知

,

的子列 ,

, 使得, 于是

, 即

（2）设数列

,

不以f

（反证法）若结论不成立, 即存在

为正的单调递减数列, 且

【答案】（1）因为由

收敛, 可知必有

为正的单调递减数列, 由单调有界定理得

存在,

对任意存在正整数W , 使得对任意正整数p ,

在上式中, 令取极限, 则得

由的任意性, 则得

显然故有（2）因为

为正的单调递减数列, 由单调有界定理知

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存在,

由收敛, 可知必有

存在正整数N , 使得对任意正整数p , 成立

在上式中, 令

取极限, 则得

由

的任意性, 则得

显然故有

6． 证明下列结论:

（1）设f （x ）在都

存在.

,

设, 由柯西收敛准则

, 【答案】（1）

对

,

又由f （x ）在[a, M+l]上连续, 从而一致连续, 故对上述的当取或者

所以f （x ）在

且

, 则对

,

或者上一致连续.

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对任意

上连续, 且存在, 则f （x ）在上一致连续;

及

（2）设f （x ）在有限开区间（a , b ）内连续, 则f （X ）在（a , b ）内一致连续

,

对

,

有

时有

.

当

, 不论哪种情况均有

时,

.