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一、证明题

1．

设

在

上可微,

且对于任何

有

求证:对任何正整数n ,

有

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

又因为

在

上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在

使得

因此

2． 定义双曲函数如下:

双曲正弦函数

双曲余切函数

证明:

【答案】（1）（2）（3）

（4）

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双曲余弦函数

双曲正切函数

3． 证明关于函数

（1）当（2）当【答案】即

时, 时,

的如下不等式:

是不超过的最大整数, 因此

（1）当（2）当

时, 式（*）两边同乘以x , 得到时, 式

两边同乘以x , 得到

, 且

则函数列【答案】因为

即函数列取朗日定理得

由

在

上连续, 从而一致连续,

则

, 当满足

即

时有

于是

0有

, , 即

在

上一致收敛于

, 当n>N时,

.

与

, 对

的极限函数为

.

, 当

时有

. 于是当

在（a , b ）内闭一致收敛于函数

.

4． 证明:若函数f （x ）在（a , b ）内有连续导数

, 存在正整数时, 由拉格

,

对

5． 证明:对任一多项式p （X ）, —定存在x 1与x 2, 使p （X ）在调.

【答案】设

当n 为偶数时, n-l 为奇数,

此时有时

, 严格递增.

当n 为奇数时, n-l 为偶数,

则

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内分别严格单

, 则

不妨设

故存在

内p （x ）严格递减, 在

, 故

存在

,

使得当内p （x ）

, 当时

, 于是, 在

, 使得

当

时

, 6． 证明

:

令

, 则

, 则p （x

）在与内分别严格递增.

【答案】令,

原式

.

, 则有

故

对上式右端第二个积分, 作变换

原式

这里用到了在 7． 设

并求J （2m , 2n ）. 【答案】

上

,

（m , n 为正整数）, 证明:

9

移项解得

. 同理

移项解得

由上述结论可得

而

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