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一、证明题

1． 应用

（1）（2）

【答案】 （1）证法一:由于所以

另外

所以

证法二:

（2）由于

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛, 所以

另外

所以

2． 证明:若f （x ）在[a, b]上只有第一类间断点, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】假设f （x ）在[a, b]上无界, 则对每一个自然数n ,

存在互异点列

. 由致密性定理, 存在但

证明:

在任何[c, d]上（c ＞o ） —致收敛,

使

的子列从xQ 的左方或右方收敛于与

,

不收敛, 即不存在, 这与f （x ）只有第一类间断点矛盾.

3． 证明:圆（a>0）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角.

可得

【答案】设切线与向径的夹角为

而当时, tanx 为单值函数, 因而由可推出, 即圆上任一点的切线与向

径夹角等于向径的极角.

4． 设f （x

）在上可微, 且

【答案】令由于

5． 证明:若级数

【答案】假设若发散.

6． 设

, 则

, 因此g （x ）为, 从而可知g （X ）=0, 即

发散，收敛. 因

.

，证明:

也发散

则

也发散.

证明:在上f （x ）=0. .

上的单调递减函数, 所以

.

故级数收敛，这与题设. 发散矛盾，所以

【答案】因为

所以

7． 设

证明:【答案】因为又因为对上述任给的

从而对任给的从而对上述只需取

存在

当

存在

使当

时, 就有

时, 有

使当

. 时, 有

且在

附近有

故

二、解答题

8． 计算积分

, 其中D 是x=0, y=l, y=x围成的区域.

【答案】由题意知, 所求的积分为

9． 求极限

【答案】由可得

于是,

原极限

,

10．判别下列广义积分的收敛性:

（1）

（2）

, 有

, 即

【答案】（1）方法一因为便知积分

收敛

方法二当

时

,

, 而

, 所以对N=1,

,