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一、证明题

1． 设级数

【答案】设

收敛于A （有限数）. 证明

：

，则有

，

故有

2． f （x

）在

. 上有连续二阶导数，且

.

，令

证明：

收敛.

，所以

.

【答案】由题设，对n=1, 2，…，有

由

在

上有连续二阶导数，知. 于是，

sinnx :在

上绝对可积，即存在M>0,

使得

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利用比较判别法，由子 3． 设

的收敛半径

收敛，则级数收敛.

，令，试证明f （f n （x ））在[a, b]上一

致收敛于f （f （x ）），其中[a, b]为任一有限闭区间

.

【答案】由题意知，f （x ）在对任意有限区间[a, b]，由于

在[a, b]上一致有界，所以

再由f （x ）在

4． 证明:若

【答案】

因为于是当

5． 按

（1） （

2） （3） 【答案】（1

）

对任意

由

则当

时.

（2）因为

所以

对任意

由

得

取

则当

时,

（3）当n 为偶数时,

当n 为奇数时,

上连续，

一致收敛于f （x ） .

在任意区间内是一致收敛的，

上一致连续，于是有则对任一正整数k , 有

所以, 对于任给

所以

存在

N , 当

因此

在[a, b]上一致收敛于.

时,

时, 有

定义证明:

故

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对任意

取

则当

时,

, 故

至少有一个

6． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在

使得

在n －1个区间

使得

有n+1个相异的实根, 则方程

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知, , 即

的n+1个相异的实根为

, 即

上应用罗尔中值定理知,

至少有n －1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

续下去可得, 至少有n －2个相异实根,

7． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为

1知

由函数极限的局部有界性知,

在

内有界,

由函数极限的局部有界性知,,

在内有界,

所以（5）

即

于是, 在某个

内

有界, 故