2018年海南师范大学数学与统计学院615数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明抛物线
【答案】
►
显然当
2． 求证含参量广义积分
【答案】任取（1）当a>0时, 因为（2）当a=0时,
且充分小, 使得
的任何有界闭子区间上一致收敛.
的有界闭子区间[a, b] （a 收敛, 所以广义积分 当B>A>0时, 有 ①若 ②若故当 则 因为广义积分时, 即 时 , 关于 时, 所以广义积分 收敛, 所以存 , 当 时 在[0, b] 在[a, b]上一致收敛. 时 , 是单调递减的. 故当2ax+b=0时, K 取最大值. , 即抛物线 在顶点处的曲率为最大. 在顶点处的曲率为最大. 由2ax+6=0得 综合①, ②讨论, 当 上一致收敛. 由（1） （2）可知, 广义积 3． 试证明: 二次型 值和最小值恰好是矩阵 的任何有界闭区间上一致收敛. 在单位球面 上的最大 的最大特征值和最小特征值. 【答案】设 , 令 ①x ＋②y ＋③z 结合④式, 得由①, ②, ③知是对称矩阵 的特征值. 又f 在有界闭集恰好是矩阵 的最大特征值和最小特征值. 4． 证明:若单调数列 【答案】设切正整数k , 5． 证明:若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则 【答案】设n 和l 的方向余弦分别是由第一、二型曲面积分之间的关系可得 由l 方向固定, 都是常数, 故 , 由高斯公式得 6． 设函数f 在区间I 上连续, 证明: （1）若对任何有理数 有f （r ） =0, 则在I 上f （x ） =0; 有. 又因为 则f 在I 上严格增. 使. 当并且）, , 所以 （2）若对任意两个有理数 由f 的连续性得 （2 ）设有两个实数由使得当 可知 , 时, 和 其中n 为曲面S 的外法线方向. , 则 含有一个收敛子列, 则 收敛. 是有界的. 设正数M 是的一个上界, 即对一的子列, 所以存在正整数s , 使得 收敛. . 于是 是 上连续, 故最大值、最小值存在, 所以最大值和最小值 单调递增, 它的子列收敛, 则 对任意的正整数n , 由于 这说明数列是有上界的. 由单调有界定理知, 数列 【答案】（1）设x 0为中的任一无理数, 由有理数的稠密性知, 存在有理数列 为有理数时, f （r ）也为0, 于是, 在I 上f （x ）=0. , 由有理数的稠密性知, 存在有理数r 1, r 2使得 , 两点连续. , 存在 , 从而 因为f （x ）在I 上连续, 所以f （x ）在 . 对于正数 （设； 而当 , 满足 时 , , 从而 . 再由 . 存在有理数 知, 和 故f 在I 上严格递增. 7． 设 , 证明: 【答案】由拉格朗日中值定理知, , 使得 因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当 时 , , 则 . , 显然x=2是g （x ）在 当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 二、解答题 8． 若 【答案】 . 求 不存在. 9． 设 【答案】三方程分别对x 求偏导数, 得 求
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