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一、证明题

1． 设（f x ）

满足

则f

在在

上恒等于0.

上连续. 由最小最大值定理知, f （x ）

现再

由

为最

上的最大值为M , 最小值为m , 并且

由费马定理

知

为f （x ）的一个严格极小值. 这与

, 其中g （x ）为任一函数. 证明:若

,

【答案】反证法. 因f （x ）存在二阶导数, 故f （x ）在

上存在最大值和最小值. 设f （x ）在,

因

得

,

故

证M=m=0.假设

. 于

是

于是

大值矛盾, 故M=0.同理可证m=0.

所以在上

2． 证明:函数在点（0, 0）连续但偏导数不存在.

【答案】因为由于当

时,

极限不存在, 因而z （x , y ）在点（0, 0）关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.

所以函数

在点（0, 0）连续.

二、解答题

3． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.

z , 则面积【答案】设三角形的三边分别为x , y ，此

其中因S

与

有相同的稳定点，考虑

解方程组

得

从而

又在D 的边界上的等边三角形, 面积

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，且因

从而S 在

处取得最大值, 因而

面积最大的三角形为边长为

4． 检验一个半径为2米, 中心角为长, 设量角最大误差为

的工件面积如图, 现可直接测量其中心角或此角所对的弦

, 量弦长最大误差为3毫米, 试问用哪一种方法检验的结果较为精确

.

图

【答案】设弦长为1, 则角引起的弦长误差为

此由量角引起的弦长最大误差为:

所以由上面的讨论可知用直接测量此角所对的弦长方法检验, 所得的结果较为准确. 5．

【答案】原式=

6． 计算广义三重积分

其中D 为【答案】作变换:

.

, 则

I

所以

其中为再作球坐标变换

则

且

. 而

故

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, 其中为中心角, 为量角误差, 从而当时由量

, 因

,

又因为量角时的最大误差为

.

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其中作变换:

, 则

从而

7． 根据定义叙述在某个

内有定义, A 为定数. 若存

的x , 使得

,

总存

在满足不

等式

不以益为极限, 记为

. 由上式可见, 积分是存在的, 下面展开计算.

【答案】这个命题的叙述为

:设函数f 在点

的某个空心邻域

便得对任意的正数则称当

8． 在R

2上给定

及函数

时,

证明:无界函数f （x , y ）在【答案】作

的部分

上可积.

, 令

, 则

为了估计上界, 把分成三类:以（0, 1

）为心,

以

为半径的圆记作U , 整个落在U 内的归作第一类; 不完全落在U 内的, 要么整个落在正方形

要么整个落在

上, 归作第三类. 容易看出

第

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页，

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内, 归作第二类;