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一、证明题

1． 来自正态总体于对称，

且

【答案】记正态分布则容量为

的样本中位数

的分布函数与密度函数分别为

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数同时还有

与

是偶函数，从而

的密度函数

关于

对称，

与

分别是标准正态分布

的分布函数与密度函数，依据它们的性质

与

的容量为

的样本中位数是

证明

的密度函数关

2． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且

.

证明:【答案】由所以得

3．

设总体

【答案】令

，则

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得

. 进一步由

得

是样本

，的矩估计和最大似然估计都是

它也是的相

.

又因为

，

合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.

对上式求导易知，当

时上式达到最小，最小值为

，它小于的均方误差

.

4． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与从而X 与即数，

由于

5． 设

证明:

的特征函数为

所以

故

是实的偶函数.

有相同的特征函数，

有相同的密度函数，而X 的密度函数为

则X 与

所以得

有相同的特征函

先证充分性. 若

是实的偶函数，则

又因

关于原点是对称的.

有相同的密度函数，所以X 与

再证必要性，若

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

所以

【答案】因为

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

6． 设随机向量

【答案】记标准化变量为

因为考虑到

故

所以

的协方差阵的行列式为

再由协方差阵的非负定性，可得

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服从大数定律. 间的相关系数分别为

证明:

移项即得结论.

7． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知，t 变量可表示

为

且U 与V 独立，从而有

由于

将两者代回可知，在

时，若r 为奇数，则

若r 为偶数，则

证明完成. 进一步，当当 8．

设计.

【答案】由于

这就证明了

是的相合估计.

独立同分布

,

证明

:

时，

时，

（此时要求（此时要求

否则均值不存在）， 否则方差不存在）.

是的相合估

二、计算题

9． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证:的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

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都服从区间（0, 1）上