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2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题（一） ... 2 2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题（二） . 10 2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题（三） . 18 2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题（四） . 27 2018年大连海洋大学水产715高等数学Ⅱ之概率论与数理统计考研基础五套测试题（五） . 35

一、证明题

1． 来自正态总体于对称，

且

【答案】记正态分布则容量为

的样本中位数

的分布函数与密度函数分别为

的密度函数为

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数同时还有

2． 证明公式

【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.

注意到将等式右边的求导可给出

而对

对

与

是偶函数，从而

的密度函数

关于

对称，

与

分别是标准正态分布

的分布函数与密度函数，依据它们的性质

与

的容量为

的样本中位数是

证明

的密度函数关

其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在

时都为0, 等式得证.

3． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明:

【答案】（1）由于

存在，所以该级数绝对收敛，从而有

（2）

4． 设随机变量X

服从参数为的泊松分布，试证明

:

【答案】

由此得

5． 设

为n 维随机变量，其协方差矩阵

存在. 证明:若

使得

【答案】由于使得另一方面，

.

利用此结果计算

则以概率

1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数

意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量

方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得

6． 记

证明

【答案】

由

得

7． 设

证明:

为独立随机变量序列，且

服从大数定律.

相互独立，且

由此可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

且X 与Y 独立，

【答案】因为所以

8． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得