2018年东北财经大学数量经济学801经济学之概率论与数理统计教程考研核心题库
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一、证明题
1． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
相互独立，服从
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
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相互独立，且服从
2． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
，且
，证明:
上式移项即得结论.
3． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
将
式两端对求导，并注意到
，有
这说明我们将
，即
.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
则
9
从而，进一步， 4． 证明:
【答案】不妨设另一方面，还有
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，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
.
为的UMVUE.
，C-R 下界为.
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
. ，则
综合上述两方面，可得
5． 任意两事件之并
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
6． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即
7． 设总体
证明:
【答案】大家知道:则
分别是
没有无偏估计.
为样本，
分别为, 的无偏估计，设
的UMVUE.
是0的任一无偏估计，处不存在导数.
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】（反证法）假设
*
即
将
式两端对求导，并注意到
有
这说明为证明是
，即
，于是
式的两端再对求导，得
由此可以得到
，下一步，将
式两端对
求导，略去几个前面已经指出积分为0
，从而是的UMVUE.
的UMVUE ，我们将
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