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一、证明题

1． 设存在，且N 与

为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:

【答案】因为

所以

2． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明:

【答案】

3． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立， 则

【答案】记

因为

且X 与Y

所以由X 与Y 的独立性得这正是二项分布

4． 设

的特征函数，由唯一性定理知

试证明:当n 充分大时

，

为一独立同分布的随机变量序列，已知

近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.

【答案】因为为独立同分布的随机变量序列，所以也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为

5． 试用特征函数的方法证明分布的可加性:若随机变量

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

6． 设随机变量X 取值

【答案】

的概率分别是

. 证明

:

分布

的特征函数，由唯一性定理知

且X 与Y 独立，

7． 设X 为非负连续随机变量，若

（2）

存在，试证明:

【答案】（1）因为X 为非负连续随机变量，所以当x<0时，有F （x ）=0.公式得

（2）因为X 为非负连续随机变量，所以X 也是非负连续随机变量，因此利用（1）可得

令

，则

8． 来自正态总体于对称，

且

【答案】记正态分布则容量为

的容量为的样本中位数是证明的密度函数关

的分布函数与密度函数分别为

的密度函数为

与

的样本中位数

令

此变换的雅可比行列式的绝对值

于是y 的密度函数为

其中可得

这表明密度函数同时还有

与

是偶函数，从而

的密度函数

关于

对称，

与

分别是标准正态分布

的分布函数与密度函数，依据它们的性质

二、计算题

9． 设X 服从泊松分布，且已知

【答案】由

10．设总体密度函数为1个样本，并取拒绝域为

【答案】由定义，检验的势函数

得

求，从中解得

为检验

，试求检验的势函数以及检验犯两类错误的概率. 是检验拒绝原假设的概率，为

.

当当

时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，

即P

抽取了40个样品，试求

的均值为

在0.5到0.75间变动.

；

，现观测

，由此得

它是的函数，为

11．从指数总体

的渐近分布. 方差为

于是的渐近分布为

【答案】由于指数总体