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一、证明题

1． 设曲面z=f(x , y ) 二次可微，且要条件是：

【答案】

为一条直线即由f (x ，y ) =c所确定的隐函数y=y(x ) 在XOy 平面上表示

而

故

由此可见，命题成立.

2． 证明：若函数f 在有一点

使

使

使

得可得

故

3． 设

【答案】因为对于这样的当

故

，证明

时

，

所以对任给的

存在

使得当因此

4． 证明二重积分中值定理(性质7) .

【答案】性质7 (中值定理) 若f 为有界闭域D 上的连续函数，则存在

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证明：对任给的常数c ，f (x ，y ) =c为一条直线的充

一条直线. 显然，y=y(x ) 是一条直线

上连续，且

则当

使得

则在时，

内至少

【答案】用反证法. 如果在(a ，b ) 内不存在

根据连续函数的介值定理，存

在

再由

总成立. 否则，若存在：

这与假设矛盾. 设

当

这与题

设矛盾. 故

在内至少存在一

点

使

使得

因为f 在D 上连续，所以f 在D 上一定存在最大值M 与最小值m ，对D 中一切点有由性质4知：

即

再由定理16.10知，存在

使得

二、解答题

5． 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由椭圆移动到(0，6) ，求力所作的功.

【答案】椭圆的参数方程为：

由于力的反方向指向原点，则:(设k 为比例系数

)

6． 设函数下，方程

并研究例子：

【答案】设

故由教祠(i ) 设

由于

7． 设二元函数

(1) 试比较

【答案】(1

)

在正方形区域与

有

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沿

在区间内连续，函数

在区间内连续，而问在怎样的条件

能确定函数

显然

注意2知，

若

由于

在上连续

.

即存在点

都在R 上连续，且

可确定函数

故方程

不能确定函数

所以

，满足

又

就可在

附近确定隐函数

故由上面的结论知方程

上连续. 记

的大小并证明之；

>成立的(你认为最好的) 充分条件.

对于任意的x 都成立，则

(2) 给出并证明使等式

由y 的任意性可知

(2)

若

使

在[0, 1]上连续，

使

故

8． 计算下列二重积分：

(1) (2) (3) (4) :

其中

其中D 由抛物线

其中

，其中D 为图1中阴影部分；

与直线

所围成的区域；

下面证明上面条件为充分条件，显

然

【答案】(1) D 如图

1

图1

(2) (3) D 如图

2

图 2

(4) D 如图

3

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